17.2.3. \(t\) 分布

\(t\) 分布

设随机变量 \(X_1\) 与 \(X_2\) 独立且 \(X_1\sim N(0,1),X_2\sim \chi^2(n)\) ，则称

\[t=\frac{X_{1}}{\sqrt{X_{2}/n } } \]

的分布为自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布，记为 \(t\sim t(n)\) 。

Remark

• 根据增补变换法，可以推导 \(t\) 的密度函数为

\[ p_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2} \right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}, -\infty < y < \infty. \]

• \(t\) 分布的密度函数 vs 标准正态分布的密度函数。

• \(t\) 分布的密度函数和标准正态分布的密度函数均为偶函数，形状类似。

• 特别当 \(n\) 比较小时，尾部概率比标准正态分布的大一些。