5.3.4. 伽马分布

伽马函数

称

\[ \Gamma (\alpha )=\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha -1} e^{-x} dx,\alpha >0 \]

为伽马函数。

根据伽马函数的定义，可以证明伽马函数的一些常用性质。

Property 5.1

1. \(\Gamma (1 )=1, \quad \Gamma (\frac{1}{2} )=\sqrt{\pi }\) ；

2. \(\Gamma (\alpha +1 )=\alpha \Gamma(\alpha ), \quad \text{特别地，}\Gamma (n+1 )=n\Gamma(n)=n!\) 。

Proof

1. 令 \(x=u^{2}\) ，于是：

\[\begin{split}\begin{align*} \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) &= \int_{0}^{+\infty} x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx \\ &= \int_{0}^{+\infty} u^{-1} e^{-u^{2}} d(u^{2}) \\ &= 2\int_{0}^{+\infty} e^{-u^{2}} du \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^{2}} du \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot \frac{1}{2}}} e^{-\frac{u^{2}}{2(\frac{1}{2})}} du \cdot \sqrt{\pi} \\ &= \sqrt{\pi}. \end{align*}\end{split}\]

2. 这里只需要证明 \(\Gamma (\alpha +1 )=\alpha \Gamma(\alpha )\) ，即：

\[\begin{split}\begin{aligned} \Gamma (\alpha +1) &= \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha } e^{-x} dx\\ &= \int_{0}^{+\infty} \left ( -x^{\alpha } \right ) d\left ( e^{-x} \right ) \\ &= -x^{\alpha }e^{-x}|_{0}^{+\infty } +\int_{0}^{+\infty} e^{-x} d\left ( x^{\alpha } \right ) \\ &= \int_{0}^{+\infty} \alpha x^{\alpha-1 }e^{-x} dx\\ &= \alpha \Gamma(\alpha ). \end{aligned}\end{split}\]

基于伽马函数，我们来定义伽马分布。

伽马分布

假设 \(X\) 为一随机变量，其密度函数为：

\[\begin{split} p(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\lambda ^{\alpha } }{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x} & ,x\ge 0\\ 0&,x<0\end{matrix}\right. \end{split}\]

则称其分布为伽马分布，记作 \(X\sim Ga(\alpha,\lambda)\) ，其中 \(\alpha>0\) 为形状参数， \(\lambda>0\) 为尺度参数。

Remark 5.6

当 \(\alpha = 1\) 时， \(Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)\) 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma as gamma_func


def prompt_positive_float(message: str) -> float:
    while True:
        try:
            value = float(input(message))
        except ValueError:
            print("请输入有效的小数。")
            continue
        if value <= 0:
            print("参数必须大于 0。")
            continue
        return value


def read_parameters():
    print("Gamma Distribution Visualizer")
    alpha = prompt_positive_float("请输入形状参数 α（>0，例如 2）: ")
    lambd = prompt_positive_float("请输入尺度参数 λ（>0，例如 1）: ")
    return alpha, lambd


def plot_gamma_distribution(alpha: float, lambd: float) -> None:
    mean = alpha / lambd
    std = np.sqrt(alpha) / lambd
    x_max = max(5.0, mean + 5 * std)
    x = np.linspace(0, x_max, 1000)
    pdf = (lambd ** alpha * x ** (alpha - 1) * np.exp(-lambd * x)) / gamma_func(alpha)
    pdf[x < 0] = 0

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, pdf, color="skyblue", linewidth=2)
    plt.xlabel("Random variable X")
    plt.ylabel("Density f(X)")
    plt.title(f"Gamma Distribution: α={alpha}, λ={lambd}")
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.xlim(0, x_max)
    plt.ylim(0, max(0.1, pdf.max() * 1.2))
    plt.tight_layout()
    plt.show()


def main():
    alpha, lambd = read_parameters()
    plot_gamma_distribution(alpha, lambd)


if __name__ == "__main__":
    main()

以下例子讲解了泊松分布与伽马分布之间的关系，和之前讲解过的关于泊松分布与指数分布之间的关系的证明过程类似，供学生课后自学。

Example 5.5

若在 \((0,t)\) 内发生冲击的次数 \(N(t)\) 服从参数为 \(\lambda t\) 的泊松分布，试证明第 \(n\) 次冲击来到的时间 \(S_{n}\) 服从伽马分布 \(Ga(n,\lambda)\) 。

Proof

因为事件：

“第 \(n\) 次冲击来到的时间 \(S_{n}\) 小于等于 \(t\) “

等价于事件：

“在 \((0,t)\) 内发生冲击的次数 \(N(t)\) 大于等于 \(n\) “，即：

\[ \left \{ S_{n} \le t \right \} =\left \{ N(t)\ge n \right \} \]

于是， \(S_{n}\) 的分布函数为：

\[ F(t)=P(S_{n}\le t )=P(N(t)\ge n)=\sum_{k=n}^{+\infty } \frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t} \]

令 \(a_{k} = \frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t}\) , \(b_{k} = \frac{\lambda ^{k} }{\Gamma (k)}\int_{t}^{+\infty }x^{k-1}e^{-\lambda x}dx\) ，由于：

\[\begin{split}\begin{aligned} b_{k} &=\frac{\lambda ^{k} }{\Gamma (k)}\int_{t}^{+\infty }x^{k-1}e^{-\lambda x}dx \\ &=\frac{\lambda ^{k} }{(k-1)!}\int_{t}^{+\infty }-\frac{1}{\lambda } x^{k-1}d e^{-\lambda x} \\ &=\frac{\lambda ^{k} }{(k-1)!}\left(-\frac{1}{\lambda } x^{k-1}e^{-\lambda x} \Big|_{t}^{+\infty } +\frac{k-1}{\lambda }\int_{t}^{+\infty }x^{k-2} e^{-\lambda x}dx \right)\\ &=\frac{\lambda ^{k} }{(k-1)!}\left(\frac{1}{\lambda } t^{k-1}e^{-\lambda t} +\frac{k-1}{\lambda }\int_{t}^{+\infty }x^{k-2} e^{-\lambda x}dx \right)\\ &=\frac{\lambda ^{k-1} }{(k-1)!} t^{k-1}e^{-\lambda t} +\frac{\lambda ^{k-1} }{(k-2)!}\int_{t}^{+\infty }x^{k-2} e^{-\lambda x}dx \\ &=a_{k-1} +b_{k-1} \end{aligned}\end{split}\]

可得 \(a_{k-1} =b_{k}-b_{k-1}\) ，则：

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1} a_{k} &=\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})\\ &=(b_{2}-b_{1})+\cdots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}-b_{1}\\ &=\frac{\lambda ^{n} }{\Gamma (n)}\int_{t}^{+\infty } x^{n-1}e^{-\lambda x} dx-a_{0} \end{aligned}\end{split}\]

且：

\[\begin{split}\begin{aligned} b_{1} &=\frac{\lambda }{\Gamma (1)}\int_{t}^{+\infty } e^{-\lambda x} dx\\ &=\lambda \int_{t}^{+\infty } e^{-\lambda x} dx\\ &=-e^{-\lambda x}|_{t}^{+\infty }=e^{-\lambda t}=a_{0} \end{aligned}\end{split}\]

由此，我们有：

\[ \sum_{k=0}^{n-1 } \frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t}= \frac{\lambda ^{n} }{\Gamma (n)}\int_{t}^{+\infty } x^{n-1}e^{-\lambda x} dx \]

因此：

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} F(t) &=&\sum_{k=n}^{+\infty } \frac{(\lambda t)^{k} }{k!} e^{-\lambda t}\\ &=&1-\frac{\lambda ^{n} }{\Gamma (n)}\int_{t}^{+\infty } x^{n-1} e^{-\lambda x} dx\\ &=&1-\int_{t}^{+\infty } \frac{\lambda ^{n} }{\Gamma (n)}x^{n-1} e^{-\lambda x} dx\\ &=&\int_{0}^{t} \frac{\lambda ^{n} }{\Gamma (n)}x^{n-1} e^{-\lambda x} dx \end{eqnarray*}\end{split}\]

所以， \(S_{n}\sim Ga(n,\lambda)\) .