21.1. 区间估计的概念

设 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\) 是样本。我们想要找到两个统计量 \(\hat{\theta}_{L}=\hat{\theta}_{L}(x_{1},\cdots,x_{n})\) 和 \(\hat{\theta}_{U}=\hat{\theta}_{U}(x_{1},\cdots,x_{n})\) ， \(\hat{\theta}_{L}<\hat{\theta}_{U}\) 。于是，所构造的一个区间 \([\hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U}]\) 为 \(\theta\) 的一个区间估计。

Question

一个合适的区间估计应该有什么要求？

因为样本具有随机性，所以， \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 是一个随机区间。但待估参数 \(\theta\) 是一个未知常数。我们通常要求区间 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 盖住 \(\theta\) 的概率

\[ P(\hat{\theta}_{L}\leq \theta\leq \hat{\theta}_{U})=P\left ( \left \{ \hat{\theta}_{L}\le \theta \right \}\cap \left \{ \hat{\theta}_{U}\le \theta \right \} \right ) \]

尽可能大。

置信区间

设 \(\theta\) 是总体的一个参数，其参数空间为 \(\Theta\) ， \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 是来自该总体的样本，对给定的一个 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，假设有两个统计量 \(\hat{\theta}_L = \hat{\theta}_L(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 和 \(\hat{\theta}_U = \hat{\theta}_U(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ，若对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta\le \hat{\theta}_{U}) \geq 1-\alpha \]

则称随机区间 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间，或简称 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U} \right]\) 是 \(\theta\) 的 \(1-\alpha\) 置信区间， \(\hat{\theta}_{L}\) 和 \(\hat{\theta}_{U}\) 分别称为 \(\theta\) 的（双侧）置信下限和置信上限。

Remark

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta\le \hat{\theta}_{U}) = 1-\alpha \]

则称 \(\left[ \hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{u} \right]\) 是 \(\theta\) 的 \(1-\alpha\) 同等置信区间；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta) \geq 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{L}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）置信下限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\hat{\theta}_{L}\le \theta) = 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{L}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）同等置信下限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\theta\leq \hat{\theta}_{U}) \geq 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{U}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）置信上限；

• 若对给定的 \(\alpha(0<\alpha<1)\) ，对任意的 \(\theta \in \Theta\) ，有

\[ P(\theta\leq \hat{\theta}_{U}) = 1-\alpha \]

则称 \(\hat{\theta}_{U}\) 为 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的（单侧）同等置信上限；

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
np.random.seed(400)

n_experiments = int(input("请输入实验次数（一个整数 eg: 100）："))
sample_size = int(input("请输入样本量（一个整数 eg: 500）：")) 
confidence_level = float(input("请输入置信水平（一个小数 eg: 0.95）："))   
z_critical = stats.norm.ppf((1 + confidence_level) / 2)  # 临界值

success_count = 0
intervals = []
sample_means = []

for i in range(n_experiments):
    sample = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=sample_size)
    sample_mean = np.mean(sample)
    sample_std = np.std(sample, ddof=1)  # 使用无偏估计
    standard_error = sample_std / np.sqrt(sample_size)
    lower_bound = sample_mean - z_critical * standard_error
    upper_bound = sample_mean + z_critical * standard_error
    is_correct = (lower_bound <= 0 <= upper_bound)
    if is_correct:
        success_count += 1
    intervals.append((lower_bound, upper_bound, is_correct))
    sample_means.append(sample_mean)

success_rate = success_count / n_experiments * 100

plt.figure(figsize=(12, 8))

# 绘制正确和错误的区间
for i, (lower, upper, is_correct) in enumerate(intervals):
    color = 'green' if is_correct else 'red'
    plt.plot([i+1, i+1], [lower, upper], color=color, linewidth=1.5)
    plt.plot(i+1, sample_means[i], 'o', color=color, markersize=3)

# 绘制真实均值线
plt.axhline(y=0, color='blue', linestyle='--', linewidth=1.5, label='Actual Mean Value')

plt.title(f'Confidence Intervals for Mean Estimation of Standard Normal Distribution \n(Sample size: {sample_size}, Number of experiments: {n_experiments}, Confidence level: {confidence_level}, Actual success rate: {success_rate:.2f}%)', fontsize=14)
plt.xlabel('Experiment number', fontsize=12)
plt.ylabel('Mean value', fontsize=12)
plt.legend()
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.tight_layout()

plt.show()