4.4. 几何分布与负二项分布

几何分布

假定伯努利试验中成功（事件 \(A\) )概率为 \(p\) 。记 \(X\) 为伯努利试验首次成功的次数，其分布列为：

\[ P(X=k) = (1-p)^{(k-1)}p, k=1,2,\cdots. \]

称这个分布为几何分布。记 \(X\sim Ge(p)\) 。

Theorem 4.2

设 \(X \sim Ge(p)\) ，则对任意正整数 \(m\) 和 \(n\) ，有：

\[ P(X>m+n|X>m)=P(X>n) \]

Proof

因为 \(X\) 的概率分布列为：

\[ P(X= k) = (1-p)^{k-1} p , k=1,2,\cdots, \]

所以，

\[ P(X>n)=\sum_{k=n+1}^{+\infty } (1-p)^{k-1} p=p\cdot \frac{(1-p)^{n} }{p} =(1-p)^{n} \]

因此，对于任意正整数 \(m\) 和 \(n\) ，条件概率为：

\[ P(X>m+n|X>m)=\frac{P(X>m+n,X>m)}{P(X>m)} =\frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}=\frac{(1-p)^{m+n} }{(1-p)^{m} }=(1-p)^{n} \]

Remark 4.5

在本证明中，我们使用到等比数列的求和公式。对于一个等比数列 \(\{a_n\}\) ，首项为 \(a_1\) ，公比为 \(q\) 。

• 前 \(n\) 项和 \(S_n = \sum_{i=1}^n a_i = \frac{a_1 ( 1- q^n)}{(1-q)}\) ；

• 无穷项求和 \(S_\infty = \sum_{i=1}^\infty a_i\) 有两种需要讨论的情况。

  • 若 \(|q|<1\) ，则：

    \[ S_\infty = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q}; \]

  • 若 \(|q| \geq 1\) ，则 \(S_\infty\) 是发散的；

负二项分布

假定伯努利试验中成功（事件 \(A\) )概率为 \(p\) 。记 \(X\) 为伯努利试验第 \(r\) 次成功的次数，其分布列为：

\[ P(X=k) = C_{k-1}^{r-1} (1-p)^{(k-r)}p^{r}, k=r,r+1,r+2,\cdots. \]

称这个分布为负二项分布。记 \(X\sim Nb(r,p)\) 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import comb


def prompt_int(message: str, *, min_value: int = None, max_value: int = None) -> int:
    while True:
        try:
            value = int(input(message))
        except ValueError:
            print("请输入有效的整数。")
            continue
        if min_value is not None and value < min_value:
            print(f"数值必须 >= {min_value}。")
            continue
        if max_value is not None and value > max_value:
            print(f"数值必须 <= {max_value}。")
            continue
        return value


def prompt_probability(message: str) -> float:
    while True:
        try:
            value = float(input(message))
        except ValueError:
            print("请输入有效的小数。")
            continue
        if not (0 < value < 1):
            print("概率需要在 0 和 1 之间（不含端点）。")
            continue
        return value


def read_parameters():
    print("Negative Binomial Distribution Visualizer")
    r = prompt_int("请输入目标成功次数 r（>=1，例如 3）: ", min_value=1)
    p = prompt_probability("请输入每次成功概率 p（0-1 之间，例如 0.5）: ")
    return r, p


def plot_negative_binomial(r: int, p: float) -> None:
    mean = r / p
    std = np.sqrt(r * (1 - p)) / p
    n_max = max(r + 10, int(np.ceil(mean + 4 * std)))
    n_values = np.arange(r, n_max + 1)
    probabilities = comb(n_values - 1, r - 1) * (p ** r) * ((1 - p) ** (n_values - r))

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.bar(n_values, probabilities, color="skyblue")
    plt.xlabel("Number of trials n")
    plt.ylabel("Probability P(X = n)")
    plt.title(f"Negative Binomial Distribution: r={r}, p={p}")
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.tight_layout()
    plt.show()


def main():
    r, p = read_parameters()
    plot_negative_binomial(r, p)


if __name__ == "__main__":
    main()

Remark 4.6

负二项分布与几何分布之间的关系是很紧密的。

• 几何分布是负二项分布的一种特例，即 \(r=1\) ；

• 负二项分布的随机变量可以分解为 \(r\) 个独立同分布的几何分布随机变量之和，即如果 \(X \sim Nb(r,p)\) ，

\[ X_i \overset{\text{i.i.d}}{\sim} Ge(p) , \]

那么， \(X = \sum_{i=1}^r X_i\) 。