17.2.2. \(F\) 分布#
- \(F\) 分布
设随机变量 \(X_{1}\sim \chi^{2}(m),X_{2}\sim \chi^{2}(n)\) ，且 \(X_{1}\) 与 \(X_{2}\) 独立，则称
\[F=\frac{X_{1} /m }{X_{2}/n}\]
的分布是自由度为 \(m\) 与 \(n\) 的 \(F\) 分布，记为 \(F(m,n)\) 。其中， \(m\) 为分子自由度， \(n\) 为分母自由度。
Remark
根据增补变换法，可以推导 \(F\) 的密度函数为
\[
p_F(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right) \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} }{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right) \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} y^{\frac{m}{2}-1} \left(1+\frac{m}{n}y\right)^{-\frac{m+n}{2}}, y>0.
\]
通过图像绘制， \(F\) 分布是一个偏态分布。
易证：若 \(F \sim F(m,n)\) ，则 \(1/F \sim F(n,m)\) ；
\(F\) 分布分布数的性质。若 \(F_{\alpha}(m,n)\) 为自由度为 \(m\) 和 \(n\) 的 \(F\) 分布分位数。于是，若存在一个随机变量 \(F \sim F(m,n)\) ，则 \(1/F\) 也是一个 \(F\) 分布随机变量，其自由度分别为 \(n\) 和 \(m\) 。所以，
\[
\alpha = P\left(\frac{1}{F}\leq F_{\alpha}(n,m)\right)
= P\left(F \geq \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}\right),
\]
从而
\[
P\left( F \leq \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}\right) =1-\alpha.
\]
因此，
\[
F_{1-\alpha} (m,n) = \frac{1}{F_{\alpha}(n,m)}.
\]