5.3.5. 贝塔分布

贝塔函数

称

\[ B(a,b)=\int_{0}^{1} x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx,a>0,b>0 \]

为贝塔函数。

根据贝塔函数的定义，可以证明贝塔函数的一些常用性质。

Property 5.2

2. \(B(a,b)=B(b,a)\) ；

3. \(B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}\) 。

Proof

由伽马函数的定义可知：

\[ \Gamma (a)\Gamma (b)=\int_{0}^{+\infty } \int_{0}^{+\infty } x^{a-1} y^{b-1} e^{-(x+y)} dxdy \]

作变量变换：

\[\begin{split}\left\{\begin{matrix} x=uv\\ y=u(1-v) \end{matrix}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} u=x+y\\ v=\frac{u}{x} % Keeping the original LaTeX expression here. \end{matrix}\right.\Longrightarrow J=\begin{vmatrix} v&u \\ (1-v)&-u \end{vmatrix}=-u \end{split}\]

故：

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \Gamma (a)\Gamma (b) &=&\int_{0}^{1 } \int_{0}^{+\infty } (uv)^{a-1} (u(1-v))^{b-1} e^{-u} ududv\\ &=& \int_{0}^{+\infty } u^{a+b-1}e^{-u}du \cdot \int_{0}^{1 }v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv\\ &=&\Gamma (a+b)B(a,b). \end{eqnarray*}\end{split}\]

基于贝塔函数，我们来定义贝塔分布。

贝塔分布

假设一随机变量 \(X\) ，其密度函数为：

\[\begin{split} p(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}x^{a-1} (1-x)^{b-1}, &0<x<1, \\ 0,& \text{其他}. \end{matrix}\right. \end{split}\]

则称 \(X\) 的分布为贝塔分布，记 \(X\sim Be(a,b)\) ，其中 \(a>0,b>0\) 均为形状参数。

Remark 5.7

特别地，当 \(a=1,b=1\) 时， \(Be(1,1) = U(0,1)\) 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def prompt_float(message: str) -> float:
    while True:
        try:
            return float(input(message))
        except ValueError:
            print("请输入有效的小数。")


def read_parameters():
    print("Uniform Distribution Visualizer")
    while True:
        a = prompt_float("请输入下限 a（可为负，例如 0）: ")
        b = prompt_float("请输入上限 b（需大于 a，例如 1）: ")
        if b <= a:
            print("必须满足 b > a，请重新输入。\n")
            continue
        return a, b


def plot_uniform_distribution(a: float, b: float) -> None:
    width = b - a
    margin = max(width * 0.1, 1.0)
    x_min = a - margin
    x_max = b + margin
    x = np.linspace(x_min, x_max, 1000)
    pdf = np.zeros_like(x)
    mask = (x >= a) & (x <= b)
    pdf[mask] = 1 / (b - a)

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, pdf, color="skyblue", linewidth=2)
    plt.fill_between(x, pdf, where=mask, color="skyblue", alpha=0.3)
    plt.axvline(x=a, color="gray", linestyle="--", alpha=0.7)
    plt.axvline(x=b, color="gray", linestyle="--", alpha=0.7)
    plt.xlabel("Random variable X")
    plt.ylabel("Density f(X)")
    plt.title(f"Uniform Distribution U({a}, {b})")
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.xlim(x_min, x_max)
    plt.ylim(0, max(pdf.max() * 1.2, 0.2))
    plt.tight_layout()
    plt.show()


def main():
    a, b = read_parameters()
    plot_uniform_distribution(a, b)


if __name__ == "__main__":
    main()