17.2.1. 卡方分布#
在第 6 讲中，我们已经证明了一个命题：标准正态分布 \(X\sim N(0,1)\) ，则 \(X^2 \sim Ga(1/2,1/2)\) 。我们将 \(Ga(1/2,1/2)\) 命名为卡方分布 \(\chi^2(1)\) 。另外，在第 9 讲中，我们也已经证明了一个命题：伽马分布具有可加性。于是，如果 \(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\) 独立同分布于 \(Ga(1/2,1/2)\) ，那么
\[
\sum_{i=1}^n Y_i \sim Ga(n/2,1/2).
\]
我们将 \(Ga(n/2,1/2)\) 命名为自由度为 \(n\) 的卡方分布，即 \(\chi^2(n)\) 。于是，我们可以有以下定义。
- 卡方分布
设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布于标准正态分布 \(N(0,1)\) ，则称
\[
\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2
\]
的分布为自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布，记为 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\) 。
根据伽马分布的期望和方差公式，我们知道，如果 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\) ，那么
\[\begin{split}
\begin{eqnarray*}
E(\chi^2) &=& n\\
\text{Var}(\chi^2) &=& 2n
\end{eqnarray*}
\end{split}\]
以下两个分布是建立在卡方分布之上。